# Réviser Dérivées — automatismes de maths première

## Exercice 1 — f(x) = x²
Réponse : 2*x
- Repère : Repère l'exposant de x.
- Agis : Applique (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹ avec n = 2.
- Pourquoi : La dérivée d'une puissance xⁿ est n × xⁿ⁻¹ : ici f'(x) = 2 × x¹ = 2x.
- Vérifie : Reprends les deux éléments de la formule : le coefficient vaut 2 et l'exposant vaut 2 − 1 = 1 ; il reste donc 2x.

## Exercice 2 — f(x) = x
Réponse : 1
- Repère : Écris x sous la forme 1 × x.
- Agis : Utilise la dérivée de ax : elle vaut a ; ici a = 1.
- Pourquoi : La dérivée d'une fonction linéaire x ↦ ax est son coefficient a, donc la dérivée de x vaut 1.
- Vérifie : Sur la droite y = x, quand x augmente de 1, y augmente de 1 : le quotient des variations vaut 1/1 = 1.

## Exercice 3 — f(x) = 7
Réponse : 0
- Repère : La valeur de f dépend-elle de x ?
- Agis : Utilise la propriété : la dérivée d'une fonction constante est nulle.
- Pourquoi : La fonction garde la même valeur 7 pour tout x : sa courbe est une droite horizontale, de pente nulle, donc f'(x) = 0.
- Vérifie : Compare f(0) et f(1) : les deux valent 7, donc le quotient (7 − 7)/(1 − 0) vaut 0.

## Exercice 4 — f(x) = −3x
Réponse : -3
- Repère : Repère le coefficient de x avec son signe.
- Agis : Applique (ax)' = a avec a = −3.
- Pourquoi : La dérivée d'une fonction linéaire est son coefficient directeur : celui de f est −3, donc f'(x) = −3.
- Vérifie : Calcule la pente de la droite entre x = 0 et x = 1 : (f(1) − f(0))/(1 − 0) = (−3 − 0)/1 = −3.

## Exercice 5 — f(x) = x³
Réponse : 3*x^2
- Repère : Repère l'exposant 3 de la puissance.
- Agis : Applique (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹ avec n = 3.
- Pourquoi : La règle de dérivation d'une puissance donne f'(x) = 3 × x³⁻¹ = 3x².
- Vérifie : Contrôle les deux éléments : le coefficient est 3 et l'exposant est 3 − 1 = 2 ; une réponse sans 3 ou sans le carré ne convient pas.

## Exercice 6 — f(x) = −4 pour tout réel x.
Réponse : 0
- Repère : La courbe d'une fonction constante est une droite horizontale.
- Agis : Calcule f'(2) en utilisant la dérivée d'une constante.
- Pourquoi : Le coefficient directeur de la tangente en x = 2 est f'(2) ; la fonction étant constante, sa dérivée vaut 0.
- Vérifie : Prends les points (2 ; −4) et (3 ; −4) de la droite : leur pente vaut (−4 − (−4))/(3 − 2) = 0.

## Exercice 7 — f(x) = 2x³ + 3x² − 4x.
Réponse : -4
- Repère : Dérive avant de remplacer x par −1.
- Pourquoi : La dérivée vaut 6x² + 6x − 4, donc f'(−1) = 6 − 6 − 4 = −4.

## Exercice 8 — Dérivée de xⁿ (n entier ≥1) ?
Réponse : n x^{n-1}
- Repère : L'exposant descend en facteur.
- Pourquoi : (xⁿ)' = n x^{n−1}. Exemple (x³)' = 3x².

## Exercice 9 — Dérivée de 5x³ − 2x + 1 ?
Réponse : 15x² − 2
- Repère : Dérive terme à terme.
- Pourquoi : 15x² − 2. La constante disparaît.

## Exercice 10 — Dérivée de 1/x (x≠0) ?
Réponse : -1/x²
- Repère : Écris 1/x = x⁻¹.
- Pourquoi : x⁻¹ se dérive en −1 × x⁻² = −1/x².

## Exercice 11 — f(x)=x². f'(3) = ?
Réponse : 6
- Repère : (x²)'=2x.
- Pourquoi : f'(x)=2x donc f'(3)=6. C'est la pente de la tangente en 3.

## Exercice 12 — f(x) = x² + 1.
Réponse : -3
- Repère : Écris l'équation de la tangente puis développe.
- Pourquoi : Comme f(2) = 5 et f'(2) = 4, la tangente est y = 4(x − 2) + 5 = 4x − 3.