Les Maths Satisfaisantes · Fractales · Lycée → Prépa
Le flocon de Koch
Un périmètre infini enferme une aire finie.
Le défi
Remplace le tiers central de chaque côté d un triangle par deux segments formant une pointe, puis recommence.
Le test en direct
À chaque étape, chaque segment devient 4 segments de longueur un tiers.
\(P_n=3s(4/3)^n\)
Le paradoxe
Le périmètre tend vers l infini, tandis que l aire tend vers 8/5 de l aire initiale.
\(A_\infty=\frac85A_0\)
Le TRUC
Le facteur de périmètre est 4/3, mais les triangles ajoutés ont des aires qui décroissent comme 4/9.
Pourquoi ça marche
Une suite géométrique de raison 4/9<1 additionne une aire finie ; celle de raison 4/3>1 donne un périmètre infini.
Pour aller plus loin
Passe à la vitesse supérieure
Ces maths t'accrochent ? CALCØ te rend rapide.
Les tables et les énigmes allument l'étincelle. CALCØ Première entraîne les automatismes qui sécurisent les 6 points de calcul mental de l'épreuve anticipée de maths — 10 minutes par jour, sans calculatrice.