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title: "L hôtel infini de Hilbert"
description: "Un hôtel complet peut encore accueillir des clients."
url: "https://unpointdeplus.com/satisfaisant/hotel-hilbert/"
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# L hôtel infini de Hilbert

Un hôtel complet peut encore accueillir des clients.

## Le défi

Imagine un hôtel avec une chambre pour chaque entier positif, toutes occupées. Où mettre un nouveau client ?

## Le test en direct

\(n→n+1\)

## Le bus infini

\(n\mapsto2n\)

## Le TRUC

Infini ne signifie pas « grand nombre fini » : une bijection peut réorganiser l ensemble.

## Pourquoi ça marche

Les entiers positifs et leurs sous-ensembles pairs ont la même cardinalité par une bijection.