\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\)
\(0\) x tend vers +∞Les Tables · Analyse · Lycée → Prépa
Table des croissances comparées
Comparer logarithme puissance et exponentielle.
a_savoir
À savoir
\(\ln x\ll x^a\ll e^x\)
a_reconstruire
À reconstruire
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)
pourquoi
Pourquoi
Pourquoi la comparaison porte sur le quotient et son comportement limite.
astuce
Repère
Note les hypothèses a positif et x tendant vers plus l'infini.
La table
Valeurs à connaître
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^x}\)
\(0\) x tend vers +∞\(\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^5}\)
\(+\infty\) x tend vers +∞Je m'entraîne
Une question pour vérifier
Exercice 1
\(x^2\mathrel{\text{ et }}e^x\)
Voir la correction
Réponse : \(e^x\)
Repère. Une exponentielle domine toute puissance.
Pourquoi. x²/eˣ tend vers 0.
Exercice 2
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\)
Voir la correction
Réponse : \(0\)
Repère. Le logarithme croît moins vite que x.
Pourquoi. ln x/x tend vers 0.
Avant / après
Avant : Table des limites usuelles — Les croissances comparées se prouvent par des limites de quotients.