\(-1/n\le\sin(n)/n\le1/n\)
\(0\)Les Tables · Suites · Lycée → Prépa
Théorème des gendarmes et suite de Cauchy
Utiliser un encadrement et comprendre le critère de Cauchy.
je-sais
Je sais
\(u_n\le v_n\le w_n\quad u_n,w_n\to\ell\)
reconstruis
Je reconstruis
\(\forall\varepsilon>0\;\exists N\;p,q\ge N\Rightarrow|u_p-u_q|<\varepsilon\)
attention
Je fais attention
\(\mathbb R\text{ est complet}\)
controle
Je contrôle
\(|u_p-u_q|<\varepsilon\)
La table
Valeurs à connaître
\(0\le1/n^2\le1/n\)
\(0\)\(|u_p-u_q|\)
\(0\)\(|\sin(n)/n|\le1/n\)
\(0\)Je m'entraîne
Une question pour vérifier
Exercice 1
À quelle valeur tend sin(n)/n ?
Voir la correction
Réponse : 0
Repère. Encadre sa valeur absolue par 1/n.
Pourquoi. -1/n\le\sin(n)/n\le1/n\to0
Exercice 2
La suite uₙ=1/n est-elle de Cauchy dans ℝ ?
Voir la correction
Réponse : Oui
Repère. Ses termes deviennent arbitrairement proches car elle converge vers 0.
Pourquoi. u_n\to0
Avant / après
Apres : Théorème de convergence monotone — Les bornes et les écarts contrôlent les limites