\(\mathbb P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k}\)
\(p^k(1-p)^{1-k}\) k∈{0;1} et 0≤p≤1Les Tables · Probabilités · Prépa → Prépa
Table des probabilités usuelles en prépa
Relier loi paramètre espérance et variance.
a_savoir
À savoir
Quatre lois discrètes usuelles : Bernoulli (un seul essai), binomiale (n essais indépendants), géométrique (rang du premier succès) et Poisson (événements rares indépendants).
a_reconstruire
À reconstruire
\(\mathbb P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)
pourquoi
Pourquoi
Pourquoi les probabilités de la loi de Poisson forment une somme de 1 grâce à la série exponentielle.
astuce
Repère
Identifie le support et le paramètre avant de choisir la formule.
La table
Valeurs à connaître
\(\mathbb E(X)\)
\(p\) X suit Bernoulli(p)\(\operatorname{Var}(X)\)
\(p(1-p)\) X suit Bernoulli(p)\(\mathbb P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\)
\(\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\) n entier naturel et 0≤k≤n\(\mathbb E(X)\)
\(np\) X suit Binomiale(n;p)\(\operatorname{Var}(X)\)
\(np(1-p)\) X suit Binomiale(n;p)\(\mathbb P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)
\((1-p)^{k-1}p\) X∈{1;2;…} et 0<p≤1\(\mathbb E(X)\)
\(\frac1p\) X∈{1;2;…} et 0<p≤1\(\operatorname{Var}(X)\)
\(\frac{1-p}{p^2}\) X∈{1;2;…} et 0<p≤1\(\mathbb P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)
\(e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\) k entier naturel et λ>0\(\mathbb E(X)\)
\(\lambda\) X suit Poisson(λ)\(\operatorname{Var}(X)\)
\(\lambda\) X suit Poisson(λ)Je m'entraîne
Une question pour vérifier
Exercice 1
\(X\sim\mathcal P(4)\)
Voir la correction
Réponse : \(4\)
Repère. Pour Poisson l'espérance vaut le paramètre.
Pourquoi. E(X)=4.
Exercice 2
\(X\sim\mathcal G(p)\)
Voir la correction
Réponse : \(p\)
Repère. Le premier succès arrive au premier essai avec probabilité p.
Pourquoi. P(X=1)=p.
Avant / après
Avant : Table des probabilités usuelles du lycée — Les lois de prépa prolongent les modèles de probabilité du lycée.
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