Les Maths Satisfaisantes · Paradoxes · Collège → Lycée
L hôtel infini de Hilbert
Un hôtel complet peut encore accueillir des clients.
Le défi
Imagine un hôtel avec une chambre pour chaque entier positif, toutes occupées. Où mettre un nouveau client ?
Le test en direct
Déplace le client de la chambre n vers n+1 : la chambre 1 devient libre.
\(n→n+1\)
Le bus infini
Pour accueillir un bus infini, déplace n vers 2n : toutes les chambres impaires deviennent libres.
\(n\mapsto2n\)
Le TRUC
Infini ne signifie pas « grand nombre fini » : une bijection peut réorganiser l ensemble.
Pourquoi ça marche
Les entiers positifs et leurs sous-ensembles pairs ont la même cardinalité par une bijection.
Pour aller plus loin
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