Les Maths Satisfaisantes · Motifs & logique · Collège → Lycée
Le nombre d or et Fibonacci
Le quotient de deux termes de Fibonacci se rapproche d un nombre célèbre.
Le défi
Écris 0,1,1,2,3,5,8,13,21 et calcule les rapports de termes consécutifs.
Le test en direct
Les rapports 8/5=1,6, 13/8=1,625 et 21/13≈1,61538 se rapprochent de 1,618.
La limite
Le rapport Fₙ₊₁/Fₙ tend vers φ=(1+√5)/2≈1,61803399.
\(\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)
Le TRUC
Chaque terme est la somme des deux précédents ; le rapport limite vérifie φ=1+1/φ.
\(\varphi^2=\varphi+1\)
Pourquoi ça marche
La récurrence a deux racines caractéristiques ; la racine positive dominante impose le rapport limite.
\(r^2=r+1\)
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