Les Maths Satisfaisantes · Trous noirs des nombres · Primaire → Terminale
La conjecture de Syracuse
Un enfant comprend la règle, aucun mathématicien ne sait la prouver : tous les nombres finissent par 1.
Le défi
Choisis un entier positif. S'il est pair, divise-le par 2 ; s'il est impair, multiplie-le par 3 et ajoute 1. Recommence avec le résultat. Je parie que tu finiras sur le même piège.
\(u_{n+1}=\tfrac{u_n}{2}\ \text{si pair},\ 3u_n+1\ \text{si impair}\)
Le test en direct
Avec 6 : 6 puis 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Avec 7 : 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Toujours 1.
L'effet trou noir
Peu importe le point de départ — 10, un million, un milliard de milliards — tout finit aspiré par 1, puis tourne en boucle 4, 2, 1.
Le TRUC
Les ordinateurs ont vérifié la règle jusqu'à des nombres gigantesques (plus de 2 puissance 68). Ça marche à chaque fois. Mais personne n'a su le démontrer : c'est une conjecture ouverte. Prouve-la (ou trouve un contre-exemple) et tu deviens célèbre.
\(2^{68}\)
Pourquoi c'est satisfaisant
Le nombre d'étapes avant d'atteindre 1 s'appelle le temps de vol. La trajectoire monte parfois très haut, comme une montagne russe, avant de s'effondrer d'un coup.
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