Dérivées

Réponse : 2*x

Repère. Repère l'exposant de x.

Agis. Applique (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹ avec n = 2.

Pourquoi. La dérivée d'une puissance xⁿ est n × xⁿ⁻¹ : ici f'(x) = 2 × x¹ = 2x.

Vérifie. Reprends les deux éléments de la formule : le coefficient vaut 2 et l'exposant vaut 2 − 1 = 1 ; il reste donc 2x.

Réponse : 1

Repère. Écris x sous la forme 1 × x.

Agis. Utilise la dérivée de ax : elle vaut a ; ici a = 1.

Pourquoi. La dérivée d'une fonction linéaire x ↦ ax est son coefficient a, donc la dérivée de x vaut 1.

Vérifie. Sur la droite y = x, quand x augmente de 1, y augmente de 1 : le quotient des variations vaut 1/1 = 1.

Réponse : 0

Repère. La valeur de f dépend-elle de x ?

Agis. Utilise la propriété : la dérivée d'une fonction constante est nulle.

Pourquoi. La fonction garde la même valeur 7 pour tout x : sa courbe est une droite horizontale, de pente nulle, donc f'(x) = 0.

Vérifie. Compare f(0) et f(1) : les deux valent 7, donc le quotient (7 − 7)/(1 − 0) vaut 0.

Réponse : -3

Repère. Repère le coefficient de x avec son signe.

Agis. Applique (ax)' = a avec a = −3.

Pourquoi. La dérivée d'une fonction linéaire est son coefficient directeur : celui de f est −3, donc f'(x) = −3.

Vérifie. Calcule la pente de la droite entre x = 0 et x = 1 : (f(1) − f(0))/(1 − 0) = (−3 − 0)/1 = −3.

Réponse : 3*x^2

Repère. Repère l'exposant 3 de la puissance.

Agis. Applique (xⁿ)' = n × xⁿ⁻¹ avec n = 3.

Pourquoi. La règle de dérivation d'une puissance donne f'(x) = 3 × x³⁻¹ = 3x².

Vérifie. Contrôle les deux éléments : le coefficient est 3 et l'exposant est 3 − 1 = 2 ; une réponse sans 3 ou sans le carré ne convient pas.

Réponse : 0

Repère. La courbe d'une fonction constante est une droite horizontale.

Agis. Calcule f'(2) en utilisant la dérivée d'une constante.

Pourquoi. Le coefficient directeur de la tangente en x = 2 est f'(2) ; la fonction étant constante, sa dérivée vaut 0.

Vérifie. Prends les points (2 ; −4) et (3 ; −4) de la droite : leur pente vaut (−4 − (−4))/(3 − 2) = 0.

Réponse : -4

Repère. Dérive avant de remplacer x par −1.

Pourquoi. La dérivée vaut 6x² + 6x − 4, donc f'(−1) = 6 − 6 − 4 = −4.

Réponse : n x^{n-1}

Repère. L'exposant descend en facteur.

Pourquoi. (xⁿ)' = n x^{n−1}. Exemple (x³)' = 3x².

Réponse : 15x² − 2

Repère. Dérive terme à terme.

Pourquoi. 15x² − 2. La constante disparaît.

Réponse : -1/x²

Repère. Écris 1/x = x⁻¹.

Pourquoi. x⁻¹ se dérive en −1 × x⁻² = −1/x².

Réponse : 6

Repère. (x²)'=2x.

Pourquoi. f'(x)=2x donc f'(3)=6. C'est la pente de la tangente en 3.

Réponse : -3

Repère. Écris l'équation de la tangente puis développe.

Pourquoi. Comme f(2) = 5 et f'(2) = 4, la tangente est y = 4(x − 2) + 5 = 4x − 3.