Réviser · automatismes maths 1re
Formules de base, tangente, sens de variation. 12 questions corrigées pas à pas, sans calculette — repérer, agir, comprendre pourquoi, vérifier.
Exercice 1
Donne f'(𝑥) pour tout réel 𝑥.
f(𝑥) = 𝑥²
Réponse : 2 × 𝑥
Repère. Repère l'exposant de 𝑥.
Agis. Applique (𝑥ⁿ)' = n × 𝑥ⁿ⁻¹ avec n = 2.
Pourquoi. La dérivée d'une puissance 𝑥ⁿ est n × 𝑥ⁿ⁻¹ : ici f'(𝑥) = 2 × 𝑥¹ = 2𝑥.
Vérifie. Reprends les deux éléments de la formule : le coefficient vaut 2 et l'exposant vaut 2 − 1 = 1 ; il reste donc 2𝑥.
Exercice 2
Donne f'(𝑥) pour tout réel 𝑥.
f(𝑥) = 𝑥
Réponse : 1
Repère. Repère le terme 𝑥 : aucun coefficient numérique n'est écrit devant lui.
Agis. Utilise la dérivée de a𝑥 : elle vaut a ; ici a = 1.
Pourquoi. La dérivée d'une fonction linéaire 𝑥 ↦ a𝑥 est son coefficient a, donc la dérivée de 𝑥 vaut 1.
Vérifie. Sur la droite y = 𝑥, quand 𝑥 augmente de 1, y augmente de 1 : le quotient des variations vaut 1/1 = 1.
Exercice 3
Donne f'(𝑥) pour tout réel 𝑥.
f(𝑥) = 7
Réponse : 0
Repère. La valeur de f dépend-elle de 𝑥 ?
Agis. Utilise la propriété : la dérivée d'une fonction constante est nulle.
Pourquoi. La fonction garde la même valeur 7 pour tout 𝑥 : sa courbe est une droite horizontale, de pente nulle, donc f'(𝑥) = 0.
Vérifie. Compare f(0) et f(1) : les deux valent 7, donc le quotient (7 − 7)/(1 − 0) vaut 0.
Exercice 4
Donne f'(𝑥) pour tout réel 𝑥.
f(𝑥) = −3𝑥
Réponse : -3
Repère. Repère le coefficient de 𝑥 avec son signe.
Agis. Applique (a𝑥)' = a avec a = −3.
Pourquoi. La dérivée d'une fonction linéaire est son coefficient directeur : celui de f est −3, donc f'(𝑥) = −3.
Vérifie. Calcule la pente de la droite entre 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1 : (f(1) − f(0))/(1 − 0) = (−3 − 0)/1 = −3.
Exercice 5
Donne f'(𝑥) pour tout réel 𝑥.
f(𝑥) = 𝑥³
Réponse : 3 × 𝑥²
Repère. Repère l'exposant 3 de la puissance.
Agis. Applique (𝑥ⁿ)' = n × 𝑥ⁿ⁻¹ avec n = 3.
Pourquoi. La règle de dérivation d'une puissance donne f'(𝑥) = 3 × 𝑥³⁻¹ = 3𝑥².
Vérifie. Contrôle les deux éléments : le coefficient est 3 et l'exposant est 3 − 1 = 2 ; une réponse sans 3 ou sans le carré ne convient pas.
Exercice 6
Donne le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2.
f(𝑥) = −4 pour tout réel 𝑥.
Réponse : 0
Repère. La courbe d'une fonction constante est une droite horizontale.
Agis. Calcule f'(2) en utilisant la dérivée d'une constante.
Pourquoi. Le coefficient directeur de la tangente en 𝑥 = 2 est f'(2) ; la fonction étant constante, sa dérivée vaut 0.
Vérifie. Prends les points (2 ; −4) et (3 ; −4) de la droite : leur pente vaut (−4 − (−4))/(3 − 2) = 0.
Exercice 7
Calcule f'(−1).
f(𝑥) = 2𝑥³ + 3𝑥² − 4𝑥.
Réponse : -4
Repère. Dérive avant de remplacer 𝑥 par −1.
Pourquoi. La dérivée vaut 6𝑥² + 6𝑥 − 4, donc f'(−1) = 6 − 6 − 4 = −4.
Exercice 8
Dérivée de 𝑥ⁿ pour tout réel 𝑥, avec n entier ≥ 2 ?
Dérivée de 𝑥ⁿ pour tout réel 𝑥, avec n entier ≥ 2 ?
Réponse : n × 𝑥ⁿ⁻¹
Repère. L'exposant descend en facteur.
Pourquoi. La dérivée de la puissance 𝑥ⁿ est n × 𝑥ⁿ⁻¹ ; par exemple, (𝑥³)′ = 3𝑥².
Exercice 9
Dérivée de 5𝑥³ − 2𝑥 + 1 ?
Dérivée de 5𝑥³ − 2𝑥 + 1 ?
Réponse : 15𝑥² − 2
Repère. Dérive terme à terme.
Pourquoi. 15𝑥² − 2. La constante disparaît.
Exercice 10
Dérivée de 1/𝑥 (𝑥≠0) ?
Dérivée de 1/𝑥 (𝑥≠0) ?
Réponse : -1/𝑥²
Repère. Écris 1/𝑥 = 𝑥⁻¹.
Pourquoi. 𝑥⁻¹ se dérive en −1 × 𝑥⁻² = −1/𝑥².
Exercice 11
f(𝑥)=𝑥². f'(3) = ?
f(𝑥)=𝑥²
réponse : f'(3) = ?
Réponse : 6
Repère. (𝑥²)'=2𝑥.
Pourquoi. f'(𝑥)=2𝑥 donc f'(3)=6. C'est la pente de la tangente en 3.
Exercice 12
Donne l'ordonnée à l'origine de la tangente en 𝑥 = 2.
f(𝑥) = 𝑥² + 1.
Réponse : -3
Repère. Écris l'équation de la tangente puis développe.
Pourquoi. Comme f(2) = 5 et f'(2) = 4, la tangente est y = 4(𝑥 − 2) + 5 = 4𝑥 − 3.
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Pourquoi ces corrections
Chaque question de la partie 1 (notée /6, sans calculatrice) s'explique en quatre temps : repérer où regarder, agir (l'opération exacte), comprendre pourquoi c'est valide, et vérifier soi-même — jamais une « astuce » qui fait réussir sans comprendre. Entraînement complet au Dojo.