Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
−7
Z
N
D
Q
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Réponse : Z
Repère. Regarde le signe et l'absence de partie fractionnaire.
Agis. Détermine si −7 est un entier naturel, puis s'il est un entier relatif.
Pourquoi. −7 est un entier relatif négatif : il n'appartient pas à N mais appartient à Z ; comme N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, sa plus petite boîte est Z.
Vérifie. Place −7 sur la graduation entière située sept unités à gauche de 0 : c'est un entier négatif, donc dans Z et hors de N.
Exercice 2
Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
0,25
D
Z
Q
R
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Réponse : D
Repère. L'écriture décimale comporte deux chiffres après la virgule.
Agis. Vérifie que le nombre n'est pas entier et que son écriture décimale est finie.
Pourquoi. Un décimal possède une écriture décimale finie : 0,25 = 25/100 n'est pas entier, donc sa plus petite boîte est D, incluse dans Q et R.
Vérifie. Calcule 25 ÷ 100 = 0,25 et constate que 0 < 0,25 < 1 : le nombre est décimal mais pas entier.
Exercice 3
Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
1/3
Q
N
D
R
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Réponse : Q
Repère. Observe le quotient de deux entiers et son écriture décimale.
Agis. Effectue la division 1 ÷ 3 et repère si elle se termine.
Pourquoi. 1/3 est rationnel car c'est un quotient d'entiers ; sa division donne 0,333… sans fin, donc ce n'est pas un décimal et sa plus petite boîte est Q.
Vérifie. Dans la division, 10 = 3 × 3 + 1 : le reste 1 revient à chaque étape, donc aucun nombre fini de chiffres après la virgule ne donne exactement 1/3.
Exercice 4
Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
√2
R
N
D
Q
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Réponse : R
Repère. Distingue un réel rationnel d'un réel irrationnel.
Agis. Utilise la propriété : √2 est irrationnel, donc n'appartient pas à Q.
Pourquoi. √2 est un réel irrationnel ; comme N, Z et D sont inclus dans Q, aucune de ces quatre boîtes ne le contient, et R est la plus petite boîte possible.
Vérifie. Relis N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R : appartenir à N ou D imposerait d'appartenir à Q, ce que l'irrationalité de √2 exclut ; seule la réponse R convient.
Exercice 5
Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
4/2
N
Z
D
Q
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Réponse : N
Repère. Une écriture fractionnaire peut représenter un entier.
Agis. Calcule le quotient 4 ÷ 2 avant de choisir l'ensemble.
Pourquoi. 4/2 = 2 est un entier naturel : sa plus petite boîte est N, même s'il appartient aussi à Z, D, Q et R.
Vérifie. Multiplie 2 par le dénominateur 2 : tu retrouves 4 ; le quotient exact est bien l'entier naturel 2.
Exercice 6
Parmi N, Z, D, Q et R, donne le plus petit ensemble auquel ce nombre appartient.
−1,5
D
Z
Q
R
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Réponse : D
Repère. Le signe négatif ne dit pas si le nombre est entier.
Agis. Écris −1,5 = −15/10, puis vérifie si le nombre est entier.
Pourquoi. −1,5 possède une écriture décimale finie et n'est pas entier : sa plus petite boîte est D ; un décimal peut être négatif.
Vérifie. Vérifie −2 < −1,5 < −1 et (−15) ÷ 10 = −1,5 : le nombre n'est pas entier mais est bien décimal.
Exercice 7
Parmi Z, D, Q et R seulement, quel est le plus petit ensemble contenant aussi 3 ?
On sait que 3 ∈ N et que N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Z
D
Q
R
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Réponse : Z
Repère. Les boîtes emboîtées peuvent contenir le même nombre.
Agis. Pars de N et cherche la première boîte de la chaîne qui figure parmi les quatre choix.
Pourquoi. Tout élément de N appartient à Z, puis à D, Q et R ; parmi les quatre ensembles proposés, Z est donc le plus petit contenant 3.
Vérifie. Écris 3 = 3,0 = 3/1 : il est entier, décimal et rationnel ; la chaîne Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R confirme que Z est le plus petit des choix.
Exercice 8
Parmi N, Z, D et Q, quel ensemble ne contient pas −2 ?
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
N
Z
D
Q
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Réponse : N
Repère. On cherche une non-appartenance, pas la plus petite boîte contenant le nombre.
Agis. Vérifie si −2 est naturel, relatif, décimal et rationnel.
Pourquoi. −2 n'est pas naturel car il est négatif ; c'est un entier relatif, donc aussi un décimal et un rationnel : seul N ne le contient pas parmi les choix.
Vérifie. Écris −2 = −2,0 = (−2)/1 pour confirmer Z, D et Q ; son signe négatif exclut N.
Chaque question de la partie 1 (notée /6, sans calculatrice) s'explique en quatre temps : repérer où regarder, agir (l'opération exacte), comprendre pourquoi c'est valide, et vérifier soi-même — jamais une « astuce » qui fait réussir sans comprendre. Entraînement complet au Dojo.