Vecteurs

Réponse : (3;2)

Repère. Repère le point de départ A et le point d'arrivée B.

Agis. Soustrais l'abscisse de A à celle de B, puis l'ordonnée de A à celle de B.

Pourquoi. Le vecteur AB décrit le déplacement de A vers B : ses coordonnées sont (4 − 1 ; 4 − 2) = (3 ; 2).

Vérifie. Ajoute ce déplacement aux coordonnées de A : (1 + 3 ; 2 + 2) = (4 ; 4), les coordonnées de B.

Réponse : (-2;3)

Repère. Le déplacement horizontal va-t-il vers la droite ou vers la gauche ?

Agis. Calcule les différences arrivée moins départ : 1 − 3 et 4 − 1.

Pourquoi. Les coordonnées du vecteur AB s'obtiennent en soustrayant celles du départ A à celles de l'arrivée B : (1 − 3 ; 4 − 1) = (−2 ; 3).

Vérifie. Ajoute (−2 ; 3) à A : (3 − 2 ; 1 + 3) = (1 ; 4), ce qui redonne B.

Réponse : (0;0)

Repère. Le départ et l'arrivée sont le même point.

Agis. Soustrais chaque coordonnée de A à elle-même.

Pourquoi. Un déplacement d'un point vers lui-même est le vecteur nul : AA a pour coordonnées (2 − 2 ; −1 − (−1)) = (0 ; 0).

Vérifie. Ajoute (0 ; 0) à A : tu restes au point A, comme l'exige le déplacement AA.

Réponse : 4

Repère. Les premières coordonnées sont déjà égales.

Agis. Égalise les secondes coordonnées de u et de v.

Pourquoi. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales : il faut donc b = 4.

Vérifie. Remplace b par 4 : les deux couples sont alors identiques, (−2 ; 4) et (−2 ; 4).

Réponse : (-2;4)

Repère. Le nombre 2 multiplie le vecteur entier.

Agis. Multiplie chacune des deux coordonnées de u par 2.

Pourquoi. La multiplication d'un vecteur par un réel multiplie chaque coordonnée par ce réel : 2u = (2 × (−1) ; 2 × 2) = (−2 ; 4).

Vérifie. Additionne u à lui-même : (−1 − 1 ; 2 + 2) = (−2 ; 4), ce qui redonne 2u.

Réponse : (6;3)

Repère. Observe les deux coordonnées de u et les coordonnées correspondantes dans chaque proposition.

Agis. Pour chaque proposition, divise sa première coordonnée par 2 et sa seconde par 1, puis compare les deux quotients.

Pourquoi. Un multiple de u est colinéaire à u : (6 ; 3) = 3 × (2 ; 1), avec le même coefficient 3 pour les deux coordonnées.

Vérifie. Les quotients valent (3 ; 3) pour la réponse ; les autres choix donnent (3/2 ; 6), (3 ; 2) et (−3 ; 3), donc aucun n'utilise un coefficient commun.

Réponse : (−3 ; −2)

Repère. Additionne les coordonnées correspondantes.

Pourquoi. On additionne coordonnée par coordonnée : (2 − 5 ; −3 + 1) = (−3 ; −2).

Vérifie. Additionne séparément les deux coordonnées, puis vérifie que la première somme utilise 2 et −5 et la seconde −3 et 1.

Réponse : 7

Repère. Fais arrivée moins départ.

Pourquoi. L'abscisse du vecteur AB est l'abscisse de B moins celle de A : 3 − (−4) = 7.

Réponse : (6 ; −12)

Repère. Multiplie chacune des deux coordonnées.

Pourquoi. On multiplie chaque coordonnée par −3 : (−3 × (−2) ; −3 × 4) = (6 ; −12).

Réponse : (2 ; 2)

Repère. Fais la moyenne des coordonnées.

Pourquoi. Le milieu a pour coordonnées ((−3 + 7)/2 ; (5 − 1)/2) = (2 ; 2).

Réponse : (3 ; 4)

Repère. Arrivée moins départ.

Pourquoi. (𝑥_B − 𝑥_A ; y_B − y_A) = (3 ; 4).

Réponse : leurs coordonnées sont proportionnelles

Repère. Observe les conditions proposées sur les deux vecteurs.

Agis. Choisis la condition qui exprime que les coordonnées de l'un sont celles de l'autre multipliées par un même réel.

Pourquoi. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : leurs coordonnées sont alors proportionnelles.

Vérifie. Avec u⃗ = (1 ; 2) et v⃗ = (3 ; 6), les deux coordonnées sont multipliées par 3 et le déterminant vaut 1 × 6 − 2 × 3 = 0.